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@ -214,13 +214,81 @@ temporale nella quale la microsfera si stabilizza nella nuova |
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posizione di equilibrio a seguito di una variazione della forza $F$. |
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Questo tempo è strettamente legato allo smorzamento dovuto all'attrito |
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idrodinamico. |
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Osservando l'equazione di moto \ref{eq:bead_motion} possiamo |
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Osservando l'equazione di moto \ref{eq:bead_motion} si può |
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descrivere la dinamica della sfera in due regimi estremi: |
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il regime \textit{balistico}, quando il moto è dominato dalla |
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componente inerziale |
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\begin{itemize} |
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\item il regime \textit{balistico}, quando il moto è dominato dalla componente inerziale, con un tempo caratteristico |
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di rilassamento $\tau_\text{bal} = m / \gamma$. |
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\item il regime \textit{diffusivo}, qunado il termine inerziale |
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legato alla massa è trascurabile, con un tempo di rilasamento |
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$\tau_\text{diff} = \gamma / k$. |
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\end{itemize} |
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Tenendo conto delle caratteristiche delle microsfere |
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si hanno valori $\tau_\text{bal} < \SI{1}{\us}$, mentre |
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per i valori di $k$ ottenibili con il nostro sistema di pinzette |
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ottiche è possibile ridurre $\tau_\text{diff}$ fino a circa |
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\SI{100}{\us}. |
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Il tempo di risposta del sistema nel regime balistico è quindi |
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completamente trascurabile, e il transiente tra una perturbazione |
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e la stabilizzazione nella nuova posizione di equilibrio può |
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essere descritto trascurando il termine inerziale dell'equazione di moto. |
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Il protocollo di calibrazione sviluppato consente, partendo |
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dalle tracce temporali della posizione relativa della |
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microsfera un'asse spaziale, di determinare con precisione i |
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valori di $\tau$, e quindi di $k$ per ogni posizione della |
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trappola. |
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Per fare questo si tiene contro che la densità spettrale |
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delle fluttuazioni di posizione è data da \cite{Gittes1998}: |
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\begin{equation} |
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S_x(\nu) = \frac{k_B T}{\pi^2 \gamma (\nu^2 + \nu_c^2)} |
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\end{equation} |
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Dove $\nu_c = 1 / (2\pi\tau) = k / 2\pi\gamma$ é |
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la frequenza di taglio, inversamente proporzionale al tempo |
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di rilassamento. |
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Da un semplice $fit$ della distribuzione spettrale di rumore |
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della posizione è possibile quindi estrarre il valore di k. |
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Il segnale misurabile in uscita dagli amplificatori differenziali dei QPD è un segnale in tensione, |
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compreso tra \SIlist{-10;+10}{\V}, proporzionale alla |
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posizione relativa della microsfera. |
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Tramite il fit dei dati possiamo anche ottenere il fattore |
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di conversione $\beta$ tale che $x_{rel}(V) = \beta V$. |
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La distribuzione spettrale di rumore, riscalata rispetto alla |
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variabile $V$ sarà quindi: |
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\begin{equation} |
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S_V(\nu) = \frac{1}{\beta^2}\frac{k_B T}{\pi^2 \gamma (\nu^2 + \nu_c^2)} |
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\end{equation} |
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Per la calibrazione si procede a preparare un campione con una |
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cella di flusso contenente microsfere di polistirene (di diametro |
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\SI{0.9}{\um}). |
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Grazie a un'apposito programma sviluppato in ambiente LabVIEW |
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(\texttt{Force-Clamp Calibration}) è possibile acquisire in maniera |
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automatizzata le tracce del segnale prodotto dai QPD per una griglia |
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di posizioni delle trappole. Il codice si occupo di memorizzare |
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le tracce temporali per ogni posizione spostare la trappola modificando |
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la frequenza inviata agli AOM. |
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Dalle tracce temporali viene calcolata per ogni posizione di ciascuna |
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trappola la distribuzione spettrale di rumore, utilizzando i seguenti parametri |
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\begin{table}[] |
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\centering |
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\begin{tabular}{c|c} |
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& \\ |
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& |
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\end{tabular} |
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\caption{Caption} |
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\label{tab:my_label} |
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\end{table} |
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\section{Retroazione AOM e \textit{force-clamp}} |
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lorenzo.zolfanelli93
4 years ago
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