From 41fb690f59b231db60c93a3ecc59d0c8f7b3b12b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "lorenzo.zolfanelli93" Date: Wed, 26 Aug 2020 18:16:05 +0000 Subject: [PATCH] Update on Overleaf. --- chapters/3-methods.tex | 74 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- references.bib | 30 ++++++++++++++++- 2 files changed, 100 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/chapters/3-methods.tex b/chapters/3-methods.tex index aee7bc5..84c6271 100644 --- a/chapters/3-methods.tex +++ b/chapters/3-methods.tex @@ -214,13 +214,81 @@ temporale nella quale la microsfera si stabilizza nella nuova posizione di equilibrio a seguito di una variazione della forza $F$. Questo tempo è strettamente legato allo smorzamento dovuto all'attrito idrodinamico. -Osservando l'equazione di moto \ref{eq:bead_motion} possiamo +Osservando l'equazione di moto \ref{eq:bead_motion} si può descrivere la dinamica della sfera in due regimi estremi: -il regime \textit{balistico}, quando il moto è dominato dalla -componente inerziale +\begin{itemize} + \item il regime \textit{balistico}, quando il moto è dominato dalla componente inerziale, con un tempo caratteristico + di rilassamento $\tau_\text{bal} = m / \gamma$. + \item il regime \textit{diffusivo}, qunado il termine inerziale + legato alla massa è trascurabile, con un tempo di rilasamento + $\tau_\text{diff} = \gamma / k$. +\end{itemize} +Tenendo conto delle caratteristiche delle microsfere +si hanno valori $\tau_\text{bal} < \SI{1}{\us}$, mentre +per i valori di $k$ ottenibili con il nostro sistema di pinzette +ottiche è possibile ridurre $\tau_\text{diff}$ fino a circa +\SI{100}{\us}. + +Il tempo di risposta del sistema nel regime balistico è quindi +completamente trascurabile, e il transiente tra una perturbazione +e la stabilizzazione nella nuova posizione di equilibrio può +essere descritto trascurando il termine inerziale dell'equazione di moto. + + Il protocollo di calibrazione sviluppato consente, partendo + dalle tracce temporali della posizione relativa della + microsfera un'asse spaziale, di determinare con precisione i + valori di $\tau$, e quindi di $k$ per ogni posizione della + trappola. + Per fare questo si tiene contro che la densità spettrale + delle fluttuazioni di posizione è data da \cite{Gittes1998}: + \begin{equation} + S_x(\nu) = \frac{k_B T}{\pi^2 \gamma (\nu^2 + \nu_c^2)} + \end{equation} + + Dove $\nu_c = 1 / (2\pi\tau) = k / 2\pi\gamma$ é + la frequenza di taglio, inversamente proporzionale al tempo + di rilassamento. + Da un semplice $fit$ della distribuzione spettrale di rumore + della posizione è possibile quindi estrarre il valore di k. + + Il segnale misurabile in uscita dagli amplificatori differenziali dei QPD è un segnale in tensione, + compreso tra \SIlist{-10;+10}{\V}, proporzionale alla + posizione relativa della microsfera. + Tramite il fit dei dati possiamo anche ottenere il fattore + di conversione $\beta$ tale che $x_{rel}(V) = \beta V$. + La distribuzione spettrale di rumore, riscalata rispetto alla + variabile $V$ sarà quindi: + \begin{equation} + S_V(\nu) = \frac{1}{\beta^2}\frac{k_B T}{\pi^2 \gamma (\nu^2 + \nu_c^2)} + \end{equation} + +Per la calibrazione si procede a preparare un campione con una +cella di flusso contenente microsfere di polistirene (di diametro +\SI{0.9}{\um}). +Grazie a un'apposito programma sviluppato in ambiente LabVIEW +(\texttt{Force-Clamp Calibration}) è possibile acquisire in maniera +automatizzata le tracce del segnale prodotto dai QPD per una griglia +di posizioni delle trappole. Il codice si occupo di memorizzare +le tracce temporali per ogni posizione spostare la trappola modificando +la frequenza inviata agli AOM. + +Dalle tracce temporali viene calcolata per ogni posizione di ciascuna +trappola la distribuzione spettrale di rumore, utilizzando i seguenti parametri + +\begin{table}[] + \centering + + \begin{tabular}{c|c} + & \\ + & + \end{tabular} + \caption{Caption} + \label{tab:my_label} +\end{table} + \section{Retroazione AOM e \textit{force-clamp}} diff --git a/references.bib b/references.bib index c34a40d..9933a51 100644 --- a/references.bib +++ b/references.bib @@ -167,7 +167,7 @@ @article{Monico2014, doi = {10.3791/51446}, - url = {https://doi.org/10.3791/51446}, + _url = {https://doi.org/10.3791/51446}, year = {2014}, month = aug, publisher = {{MyJove} Corporation}, @@ -175,4 +175,32 @@ author = {Carina Monico and Gionata Belcastro and Francesco Vanzi and Francesco S. Pavone and Marco Capitanio}, title = {Combining Single-molecule Manipulation and Imaging for the Study of Protein-{DNA} Interactions}, journal = {Journal of Visualized Experiments} +} + +@article{Gittes1998, + doi = {10.1007/s002490050113}, + _url = {https://doi.org/10.1007/s002490050113}, + year = {1998}, + month = jan, + publisher = {Springer Science and Business Media {LLC}}, + volume = {27}, + number = {1}, + pages = {75--81}, + author = {Frederick Gittes and C. F. Schmidt}, + title = {Thermal noise limitations on micromechanical experiments}, + journal = {European Biophysics Journal} +} + +@article{Welch1967, + doi = {10.1109/tau.1967.1161901}, + url = {https://doi.org/10.1109/tau.1967.1161901}, + year = {1967}, + month = jun, + publisher = {Institute of Electrical and Electronics Engineers ({IEEE})}, + volume = {15}, + number = {2}, + pages = {70--73}, + author = {P. Welch}, + title = {The use of fast Fourier transform for the estimation of power spectra: A method based on time averaging over short, modified periodograms}, + journal = {{IEEE} Transactions on Audio and Electroacoustics} } \ No newline at end of file