From d130174412538836aeb4f4ae29f4c289fda6b657 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "lorenzo.zolfanelli93" <lorenzo.zolfanelli93@gmail.com>
Date: Sat, 15 Aug 2020 15:05:48 +0000
Subject: [PATCH] Update on Overleaf.

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 chapters/1-introduction.tex | 74 +++++++++++++++++++++++++++++++++++--
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--- a/chapters/1-introduction.tex
+++ b/chapters/1-introduction.tex
@@ -673,6 +673,7 @@ l'interfaccia tra due materiali diversi.
 Un'onda elettromagnetica monocromatica piana con vettore d'onda
 $\vec{k}$ sarà descritta dal campo elettrico
 \begin{equation}
+\label{eq:e_field}
     \vec{E}(\vec{r},t) = 
         \vec{E}_0 * \Re \left(
             e^{i(
@@ -731,16 +732,81 @@ d'onda trasmesso è data da:
     (\vec{k}_t)_x
         = \sqrt{k_t^2-(\vec{k}_t)_z^2}
         = \sqrt{k_t^2-(\vec{k}_i)_z^2}
-        = \sqrt{k_t^2-k_i^2 \sin^2(\theta_i)}
+        = \sqrt{k_t^2-k_i^2 \sin^2\theta_i}
         = \frac{n_1 \omega}{c} \sqrt{
-            \left(\frac{n_2}{n_1}\right) - \sin^2(\theta_i)
+            \left(\frac{n_2}{n_1}\right) - \sin^2\theta_i
         }\\
         = \frac{n_1 \omega}{c}\sqrt{
-            \sin^2(\theta_c) - \sin^2(\theta_i)
+            \sin^2\theta_c - \sin^2\theta_i
         }
 \end{multline}
 
 Per angoli di incidenza maggiori rispetto a quello critico,
 $\theta_i > \theta_c$, il termine sotto radice diventa negativo.
-Si ottiene quindi una componente $(\vec{k}_t)_x$ immaginaria pura.
+Si ottiene quindi una componente $(\vec{k}_t)_x$ immaginaria pura:
 
+\begin{multline}
+    \vec{k}_t =
+        \left(
+            \frac{n_1 \omega}{c}\sqrt{
+                \sin^2\theta_i - \sin^2\theta_c
+            }
+        \right) i \vec{\hat{x}}
+        + \left(
+            \frac{n_1 \omega}{c} \sin\theta_i
+        \right) \vec{\hat{z}} = \\
+        =  \alpha i \vec{\hat{x}}
+        + \left(
+            \frac{n_1 \omega}{c} \sin\theta_i
+        \right) \vec{\hat{z}}
+\end{multline}
+
+Possiamo ottenere ora l'espressione del campo elettrico trasmesso
+sostituendo $\vec{k_t}$ nell'espressione \ref{eq:e_field}:
+
+\begin{equation}
+    \vec{E}_t(\vec{r},t)
+    = \vec{E}_{t,0} \Re \left(
+            e^{i(
+                \vec{k}_t \cdot \vec{r}-\omega t
+            )}
+        \right)
+    = \vec{E}_{t,0} \Re \left(
+            e^{i \left[
+                 \left(n_1\omega\sin\theta_i/c\right) z 
+                -\omega t
+            \right]}
+        \right)
+        e^{-\alpha x}
+\end{equation}
+
+L'ampiezza del campo elettrico trasmesso decade quindi
+esponenzialmente all'aumentare della distanza dalla superficie di
+separazione.
+Possiamo definire la profondità di penetrazione $d_p$ come il valore
+di $x$ per il quale l'ampiezza del campo elettrico è scesa a $1/e$
+del valore iniziale:
+\begin{equation}
+d_p
+    = \frac{1}{\alpha}
+    = \frac{c}{n_1 \omega} \frac{1}{\sqrt{
+        \sin^2\theta_i - \sin^2\theta_c
+    }}
+    = \frac{\lambda_0}{2 \pi n_1} \frac{1}{\sqrt{
+        \sin^2\theta_i - \sin^2\theta_c
+    }}
+\end{equation}
+
+Questo valore è importante per capire qual è la profondità massima
+di un fluoroforo affinché questo possa scambiare energia con 
+l'onda evanescente ed emettere fluorescenza.
+Se consideriamo gli indici di rifrazione tipici del vetrino
+coprioggetti ($n_1 \approx 1.5$) e di una soluzione acquosa
+($n_2 \approx 1.3$) otteniamo un angolo critico $\theta_c \approx
+\SI{60}{\degree}$.
+Considerando una lunghezza d'onda di eccitazione tipicamente usata
+in microscopia di fluorescenza, $\lambda_0 = \SI{532}{\nm}$, e
+un angolo di incidenza $\theta_c \approx \SI{65}{\degree}$,
+otteniamo una profondità di penetrazione $d_p$ di circa \SI{800}{\nm}.
+
+\subsection{HILO}