From a1f49e3374547dd4ace87f2054c4bd6d74616205 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "lorenzo.zolfanelli93" <lorenzo.zolfanelli93@gmail.com>
Date: Wed, 26 Aug 2020 17:05:25 +0000
Subject: [PATCH] Update on Overleaf.

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 chapters/3-methods.tex | 52 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----
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index a0f8468..aee7bc5 100644
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+++ b/chapters/3-methods.tex
@@ -167,15 +167,57 @@ tra \SIlist{1;2}{\nm}.
  Dove $\gamma$ è il coefficiente di attrito idrodinamico della
  microsfera.
  
- Quando la microsfera è soggetta ad una forza esterna $\vec{F}$, ad
- esempio dovuta alle tensione di una biomolecola legata ad essa,
- la sua equazione di moto nella trappola sarà data da:
+ Nel caso più generele la microsfera sarà inoltre soggetta a una
+ sforza stocastica ($\eta(t)$), dovuta agli urti con il fluido, e
+ a una forza esterna $\vec{F}$, ad esempio dovuta alle tensione di una
+ biomolecola legata ad essa.
+ Possiamo quindi scrivere la forma più generale dell'equazione di moto
+ come:
  
  \begin{equation}
-     m \ddot{\vec{x}} = \vec{F} + \vec{F}_{visc} + \vec{F}_{trap} =
-     \vec{F} - \mathbf{\eta}(t) - \gamma \dot{\vec{x}} - \vec{x}
+    \label{eq:bead_motion}
+     \underbrace{m \ddot{\vec{x}}}_\text{inerzia} =
+     \underbrace{\vec{F}}_\text{f. esterna}
+     + \underbrace{\mathbf{\eta}(t)}_\text{f. stoc.}
+     - \underbrace{\gamma \dot{\vec{x}}}_\text{attrito}
+     - \underbrace{k \vec{x}}_\text{richiamo}
  \end{equation}
  
+ La forza stocastica $\eta(t)$ ha media nulla 
+ ($\langle\eta(t)\rangle_t = 0$)
+ e viene assunta con distribuzione di probabilità gaussiana con
+ $\sigma^2 = 2 k_B T \gamma$.
+ 
+ In condizioni di equilibrio la posizione media della microsfera
+ sarà quindi:
+ 
+ \begin{equation}
+     \vec{x_0} = \langle \vec{x(t)} \rangle_t = - \frac{\vec{F}}{k} 
+ \end{equation}
+ 
+ E la deviazione standard delle fluttuazioni rispetto alla posizione
+ di equilibrio può essere determinata usando il teorema di
+ equipartizione dell'energia:
+ 
+\begin{multline}
+    \langle U(x) \rangle = \frac{1}{2} k \langle (x-x_0)^2 \rangle
+    = \frac{1}{2} k_B T
+    \\ \Longrightarrow
+    \langle (x-x_0)^2 \rangle
+    = \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2
+    = \sigma_x^2 = k_B T / k
+\end{multline}
+ 
+Oltre alla conoscenza di $k$ un altro valore importante da stimare
+è il tempo di rilassamento $\tau$ del sistema, ovvero la scala
+temporale nella quale la microsfera si stabilizza nella nuova
+posizione di equilibrio a seguito di una variazione della forza $F$.
+Questo tempo è strettamente legato allo smorzamento dovuto all'attrito
+idrodinamico.
+Osservando l'equazione di moto \ref{eq:bead_motion} possiamo
+descrivere la dinamica della sfera in due regimi estremi:
+il regime \textit{balistico}, quando il moto è dominato dalla
+componente inerziale