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@@ -114,18 +114,34 @@ analiticamente dalle equazioni di Maxwell nei limiti del regime
 di Rayleigh, ovvero quando le dimensioni della sfera sono molto
 inferiori alla lunghezza d'onda della radiazione utilizzata.
 
-In questo limite possiamo considerare il materiale interagente con la radiazione come un dipolo elettrico puntiforme, associato ad una polarizzabilità $\alpha$. Il vettore di polarizzazione nel dipolo puntiforme sarà quindi $\vec{p} = \alpha \vec{E}$.
+In questo limite possiamo considerare il materiale interagente con la
+radiazione come un dipolo elettrico puntiforme, associato ad una
+polarizzabilità $\alpha$. Il vettore di polarizzazione nel dipolo puntiforme sarà quindi $\vec{p} = \alpha \vec{E}$.
 
-La forze esercitata su un dipolo elettrico puntiforme può essere ricavata a partire dalle \emph{legge di Lorentz}, ottenendo:
+La pressione di radiazione sarà quindi proporzionale all'impulso
+dei fotoni retrodiffusi per \textit{scattering} Rayleigh.
+Nel caso di una microsfera di raggio $a$, indice di rifrazione $n$,
+immersa in un fluido con indice di rifrazione $m$, la forza di
+\textit{scattering} può essere espressa\cite{HARADA1996529} come:
 
-$$ \vec{F} =
+\begin{equation}
+\vec{F}_r = \hat{k} \frac{8 \pi n k^4 a^6}{3c}
+\left(
+\frac{(n/m)^2 - 1}{(n/m)^2 + 2}
+\right)^2
+\end{equation}
+
+L'espressione della forza gradiente può essere ottenuta dall'interazione
+lorentziana tra la radiazione e il dipolo puntiforme:
+L
+$$ \vec{F}_g =
   \left( \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{E}
   + \frac{d\vec{p}}{dt} \times \vec{B}
 $$
 
 Ovvero, una volta sostituito il vettore di polarizzazione:
 
-$$ \vec{F} = \alpha
+$$ \vec{F}_g = \alpha
 \left[
     \left( \vec{E} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{E}
     + \frac{d\vec{E}}{dt} \times \vec{B}
@@ -136,7 +152,7 @@ E infine, tenendo conto delle \emph{equazioni di Maxwell} e dell'algebra dei vet
 
 \begin{equation}
 \label{dipole_force}
-\vec{F}
+\vec{F_g}
 = \alpha 
 \left[
     \frac{1}{2}\nabla E^2
@@ -144,9 +160,49 @@ E infine, tenendo conto delle \emph{equazioni di Maxwell} e dell'algebra dei vet
 \right]
 \end{equation}
 
-Questa ultima forma (equazione \ref{dipole_force}) ci permette di mettere in evidenza il termine $\frac{d}{dt}(\vec{E} \times \vec{B})$, ovvero la derivata temporale di una quantità oscillante alla stessa frequenza ottica del fascio laser (\SI{> 1e14}{\Hz}).
+Questa ultima forma (equazione \ref{dipole_force}) ci permette di mettere in evidenza il termine $\frac{d}{dt}(\vec{E} \times \vec{B})$, ovvero la derivata temporale di una quantità oscillante molto rapidamente (\SI{> 1e14}{\Hz}), che
+può tranquillamente essere considerata costante se confrontata con in tempi
+tipici dell'evoluzione meccanica del sistema. Il secondo termine può quindi
+essere trascurato e, sostituendo ad $\alpha$ l'espressione per la polarizzabilità
+della microsfera otteniamo:
+
+\begin{equation}
+    \vec{F}_g = 
+    \frac{2\pi n a^3}{c}
+    \left(
+    \frac{(n/m)^2 - 1}{(n/m)^2 + 2}
+    \right)
+    \nabla I(\vec{r})
+\end{equation}
+
+Il risultato netto dei due contributi è che la microsfera tendera ad occupare una
+posizione di equilibrio nel punto in cui i due contributi si cancellano e, se
+perturbata, risentirà di una forza di richiamo verso la posizione di equilibrio.
+
+Una risultato qualitativamente identico è dimostrabile nel limite dell'ottica
+geometrica, quando la particella è al contrario di dimensioni molto maggiori
+alla lunghezza d'onda intermedia.
+
+Il caso intermedio richiede l'uso della più complessa teoria Lorenz-Mie e spesso
+il ricorso a soluzioni numeriche, ma l'idea qualitativa alla base
+dell'intrappolamento resta valida.
+
+Nel caso generale i requisiti per un intrappolamento efficace sono quelli di avere
+una forza di gradiente maggiore di quella di scattering e una energia cinetica
+delle particelle intrappolate sufficientemente bassa (quindi un fluido sufficientemente viscoso).
+
+Per le nostre applicazioni è sufficiente considerare una forza di richiamo del tipo 
+
+\begin{equation}
+    \vec{F} = -k(\vec{x}-\vec{x}_eq)
+\end{equation}
+
+Il valore di $k$ per una certa trappola ottica, come vedremo, può essere
+determinato attraverso un'apposita procedura di calibrazione che sfrutta
+la diffusione della microsfera all'interno della trappola.
+
+
 
-Confrontando questo valore con la frequenza con cui riusciamo a campionare sperimentalmente il valore della forza risulta accurato considerare questa quantità costante, e quindi trascurare il secondo termine.
 
 
 \section{Spettroscopia force-clamp}

references.bib

@@ -14,3 +14,17 @@ doi = {10.1364/OL.11.000288},
 abstract = {Optical trapping of dielectric particles by a single-beam gradient force trap was demonstrated for the first reported time. This confirms the concept of negative light pressure due to the gradient force. Trapping was observed over the entire range of particle size from 10 $\mu$m to ~25 nm in water. Use of the new trap extends the size range of macroscopic particles accessible to optical trapping and manipulation well into the Rayleigh size regime. Application of this trapping principle to atom trapping is considered.},
 }
 
+
+@article{HARADA1996529,
+title = "Radiation forces on a dielectric sphere in the Rayleigh scattering regime",
+journal = "Optics Communications",
+volume = "124",
+number = "5",
+pages = "529 - 541",
+year = "1996",
+issn = "0030-4018",
+doi = "https://doi.org/10.1016/0030-4018(95)00753-9",
+url = "http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0030401895007539",
+author = "Yasuhiro Harada and Toshimitsu Asakura",
+abstract = "Theoretical expressions of the radiation pressure force for a dielectric sphere in the Rayleigh regime of light scattering under illumination of a Gaussian laser beam with the fundamental mode are derived in explicit form as a function of measurable quantities of the beam parameter in MKS units. Correctness of the derived expressions and validity of the size range of the Rayleigh approximation for the radiation forces as a sum of the scattering force and the gradient force are investigated by a graphical comparison of the calculated forces in longitudinal and transverse components with those obtained from the generalized Lorenz-Mie theory. Fairly good agreement in both components is found within ordinary particle-size ranges of the Rayleigh scattering theory. Furthermore, the good agreement in the transverse component, where the gradient force is dominant, is found to be satisfactory beyond the existing criterion in particle size of the Rayleigh scattering theory until the particle size becomes comparable with the spot size of the illuminating laser beam."
+}