From 1aa9f45c44d0a3da2bc0d946b214ac01fcfa2368 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "lorenzo.zolfanelli93" <lorenzo.zolfanelli93@gmail.com>
Date: Sat, 15 Aug 2020 13:53:18 +0000
Subject: [PATCH] Update on Overleaf.

---
 chapters/1-introduction.tex | 57 ++++++++++++++++++++++++++++++++++---
 1 file changed, 53 insertions(+), 4 deletions(-)

diff --git a/chapters/1-introduction.tex b/chapters/1-introduction.tex
index 12ae24e..a21acc8 100644
--- a/chapters/1-introduction.tex
+++ b/chapters/1-introduction.tex
@@ -670,8 +670,6 @@ Maxwell, che impongono condizioni precise sulla continuità
 delle componenti normali e trasverse del campo elettrico attraverso
 l'interfaccia tra due materiali diversi.
 
-Consideriamo l'interfaccia tra due materiali con indice di
-rifrazione $n_1$ e $n_2$.
 Un'onda elettromagnetica monocromatica piana con vettore d'onda
 $\vec{k}$ sarà descritta dal campo elettrico
 \begin{equation}
@@ -683,11 +681,27 @@ $\vec{k}$ sarà descritta dal campo elettrico
         \right)
 \end{equation}
 
-$\vec{k} \cdot \vec{r}$
-
+La direzione del vettore $k$ corrisponde a quella di propagazione
+dell'onda elettromagnetica e il suo modulo, il \emph{numero
+d'onda}, dipende dall'indice di rifrazione del mezzo attraversato
+e dalle frequenza della radiazione:
 
+\begin{equation}
+\label{eq:k_vinc}
+k = \frac{\omega}{c / n}
+    \Rightarrow
+(\vec{k})_x^2 + (\vec{k})_y^2 + (\vec{k})_z^2
+    = \frac{n^2 \omega^2}{c^2}
+\end{equation}
 
+Consideriamo ora un'onda elettromagnetica che incide sulla superficie
+di separazione tra due mezzi, con indici di rifrazione $n_1 > n_2$,
+con un angolo di incidenza rispetto alla normale alla superficie
+$\theta_i$.
 
+Possiamo descrivere la propagazione attraverso la superficie di
+separazione usando un sistema di riferimento dove l'asse $z$ è
+parallela a essa e il vettore d'onda appartiene al piano $xz$.
 
 \begin{figure}[ht]
     \centering
@@ -695,3 +709,38 @@ $\vec{k} \cdot \vec{r}$
     \caption{Caption}
     \label{fig:ev_Wave}
 \end{figure}
+
+
+I vettori $\vec{k}$ delle onde incidenti, trasmessa e riflessa
+devono rispettare il vincolo definito dall'equazione \ref{eq:k_vinc}.
+Questa condizione è rappresentata graficamente nella figura
+\ref{fig:ev_Wave} dalle due semicirconferenze grigie.
+
+Inoltre, per le condizioni di continuità all'interfaccia imposte
+dalle equazioni di Maxwell, deve conservarsi la componente
+tangenziale alla superficie di separazione del vettore d'onda,
+ovvero:
+
+\begin{equation}
+    (\vec{k}_i)_z = (\vec{k}_r)_z = (\vec{k}_t)_z
+\end{equation}
+
+Da queste due condizioni segue che la componente $x$ del vettore
+d'onda trasmesso è data da:
+\begin{multline}
+    (\vec{k}_t)_x
+        = \sqrt{k_t^2-(\vec{k}_t)_z^2}
+        = \sqrt{k_t^2-(\vec{k}_i)_z^2}
+        = \sqrt{k_t^2-k_i^2 \sin^2(\theta_i)}
+        = \frac{n_1 \omega}{c} \sqrt{
+            \left(\frac{n_2}{n_1}\right) - \sin^2(\theta_i)
+        }\\
+        = \frac{n_1 \omega}{c}\sqrt{
+            \sin^2(\theta_c) - \sin^2(\theta_i)
+        }
+\end{multline}
+
+Per angoli di incidenza maggiori rispetto a quello critico,
+$\theta_i > \theta_c$, il termine sotto radice diventa negativo.
+Si ottiene quindi una componente $(\vec{k}_t)_x$ immaginaria pura.
+